Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших icon

Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших




НазваниеУчебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших
Дата28.04.2014
Размер313.7 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ


Нижегородский государственный университет

им. Н.И. Лобачевского


В.Д. Горяченко, А.Л. Пригоровский,

В.М. Сандалов


ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ,

УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ

И КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ


Часть 2. Устойчивость в малом. Критерии

устойчивости. Метод D-разбиений

Учебно-методическое пособие



Рекомендовано методической комиссией

механико-математического факультета для студентов высших

учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика»


2-е издание, переработанное и дополненное


^ Нижний Новгород

2009

УДК 517.925+517.938

ББК В 232

Г 71


Рецензенты: д.т. н., проф. В.Н. Комаров

д.ф.-м.н., проф. М.М. Коган


Г 71^ Горяченко В.Д., Пригоровский А.Л., Сандалов В.М. ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ И КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ. Часть 2: Учебное пособие. 2-е изд., перераб. и доп. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2009. – 30 с.


Предлагаемый сборник задач предназначен для студентов и аспирантов, специализирующихся по прикладной математике и изучающих курс теории нелинейных колебаний. Сборник также будет полезен преподавателям, широкому кругу инженерно-технических работников и специалистов, занятых разработкой и исследованием математических моделей динамики систем различной природы. В нем приведены задачи об устойчивости состояний равновесия по линейному приближению, построение областей с различной степенью неустойчивости в пространстве параметров динамических систем с разбором их решения, а также вопросы и задачи для самостоятельной работы. Ко многим задачам даны ответы, указания, пояснения к решениям.


УДК 517.925+517.938

ББК В 232


 В.Д. Горяченко, А.Л. Пригоровский,

В.М. Сандалов, 2009


Содержание


Введение 4

1. Устойчивость в малом. Классические теоремы

Ляпунова 5

2. Критерии Рауса–Гурвица, Льенара–Шипара,

Эрмита–Гурвица 8

3. Метод D-разбиений 13

4. Робастная устойчивость 18

Задачи для самостоятельной работы 20

Ответы и указания 26

Список литературы 29

Введение

Во второй части сборника “Задачи по теории колебаний, устойчивости движения и качественной теории дифференциальных уравнений” приведены классические теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению, критерии Рауса–Гурвица, Льенара–Шипара, Эрмита–Гурвица, а также метод D-разбиений и понятие робастной устойчивости. Краткие теоретические сведения снабжены примерами и решенными задачами. В конце сборника приведено более ста задач для самостоятельной работы, для которых даны ответы и указания. Предлагаемое учебно-методическое пособие будет полезно студентам и аспирантам, изучающим курс теории колебаний и устойчивости движения, а также специалистам, занятым разработкой динамических систем различной природы.

^ 1. Устойчивость в малом.

Классические теоремы Ляпунова


Пусть автономная динамическая система описывается следующей системой дифференциальных уравнений:


(1)


Точка , координаты которой удовлетворяют системе уравнений

(2)


является одним из состояний равновесия этой динамической системы. Будем полагать, что состояние равновесия изолированное, то есть имеется окрестность состояния равновесия P0, в которой нет других состояний равновесия.

Линеаризуем систему (1) в окрестности состояния равновесия P0:

(3)

Сделав замену , обозначив и пренебрегая нелинейными членами , получим линеаризованную систему

(4)

Характеристическое уравнение системы (4) запишем в виде:


(5)


где ^ D() – характеристический многочлен, определяемый равенством


Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения (5) линеаризованной системы (4) имеют действительные части меньшие нуля, то состояние равновесия (2) системы (1) асимптотически устойчиво, каковы бы ни были нелинейные члены.

Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения (5) линеаризованной системы (4) имеется хотя бы один корень с действительной частью большей нуля, то состояние равновесия (2) неустойчиво при любых нелинейных членах.

Теорема 3. Если характеристическое уравнение (5) линеаризованной системы (4) не имеет корней с действительной частью большей нуля, но имеет корни с вещественной частью равной нулю, то вопрос об устойчивости решается именно нелинейными членами [2].

Примеры

Задача 1. Найти условие самовозбуждения (неустойчивости) лампового генератора с индуктивной обратной связью и колебательным контуром в цепи сетки триода.

Ток i в контуре и напряжение u на конденсаторе описываются уравнениями [1]:


где c – емкость, R – сопротивление, L – индуктивность, M – коэффициент связи между анодной цепью и контуром, S(u) – крутизна характеристики триода; все параметры положительны.

Решение. Линеаризуя уравнения в окрестности состояния равновесия i = 0, u = 0 и приводя их к стандартной форме, получим:


Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:


или


Для неустойчивости состояния равновесия системы, описываемой этим квадратным уравнением, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство: RcMS(0) < 0.

Задача 2. Исследовать устойчивость нулевого решения системы


Решение. Проведя линеаризацию системы в окрестности начала координат, получим систему и соответствующее ей характеристическое уравнение:


Прибавив к первому столбцу определителя соответствующие элементы двух других столбцов, получим


Отсюда 1 = a, а два других корня определяются из уравнения


Учитывая, что b > 0 и с > 0, получим, что нулевое решение исходной системы асимптотически устойчиво при a > 0 и неустойчиво при a < 0. При a = 0: 1 = 0, а Re2,3 < 0, и линеаризованные уравнения не решают вопроса об устойчивости.


^ 2. Критерии Рауса–Гурвица, Льенара–Шипара,

Эрмита–Гурвица


Развернем характеристическое уравнение (5) по степеням :


(6)


где ai R и зависят от параметров системы, a0 > 0.

Критерии Рауса–Гурвица и Льенара–Шипара дают возможность, не вычисляя корней характеристического уравнения (6), судить о знаках реальных частей его корней только с помощью исследования коэффициентов этого многочлена и, в конечном итоге, судить об устойчивости состояния равновесия [2, 6]. Введем обозначения:


,


ak = 0 при k > n.

Критерий Рауса–Гурвица. Для того чтобы все корни уравнения (6) при действительных значениях a0 > 0 и ak имели реальную часть меньше нуля, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворялись неравенства:


(7)


Частные случаи критерия Рауса–Гурвица:


n = 2:

n = 3:

n = 4:


Замечание 1. Если хотя бы одно из неравенств (7) имеет противоположный смысл, то среди корней уравнения (6) имеются корни с положительной действительной частью.

Замечание 2. Необходимым условием отрицательности действительных частей всех корней уравнения (6) является положительность

Замечание 3. Если при a0 > 0 хотя бы один из коэффициентов ak отрицателен, то среди корней уравнения (6) имеются корни с положительной действительной частью.

Примеры

Задача 3. Исследовать устойчивость нулевого решения системы:


Решение. Линеаризованная в окрестности нулевого решения система имеет вид:


Характеристическое уравнение:


Исследуем устойчивость нулевого решения по критерию Рауса–Гурвица. Имеем:


Отсюда получим необходимое и достаточное условие устойчивости:


Задача 4. В плоскости параметров ,  выделить область, соответствующую устойчивому состоянию равновесия динамической системы, заданной характеристическим уравнением:


.


Решение. Условия Рауса–Гурвица таковы:


Графическое решение этих неравенств приведено на рис.1. Область устойчивости заштрихована.


Рис. 1


^ Критерий Льенара–Шипара. Для отрицательности реальных частей корней уравнения (6) необходимо и достаточно:


где [x] – целая часть x.

Замечание. Предпочтительней пользоваться критерием Льенара–Шипара, так как этот критерий содержит меньше условий.

Примеры

Задача 5. Исследовать, при каких значениях параметров a и b нулевое состояние равновесия устойчиво:


Решение. Условия Льенара–Шипара таковы:


Из них следует, что нулевое решение будет асимптотически устойчиво, если выполняется следующая система неравенств:


В прикладных исследованиях часто возникает вопрос об условиях, при которых характеристический многочлен с комплексными коэффициентами будет устойчив (то есть когда действительные части его корней будут отрицательными). Пусть характеристическое уравнение имеет вид: Pn() = 0, а коэффициенты многочлена могут быть как действительными, так и комплексными числами. Заменим λ на jτ, j2 = 1, и тогда характеристическое уравнение примет вид:


Согласно критерию Эрмита–Гурвица составим следующую матрицу:


В приведенной матрице 2n строк или n парных строк.

Составим ряд из определителей:


и т.д.


^ Критерий Эрмита–Гурвица. Для устойчивости исходного полинома (или соответствующего состояния равновесия) необходимо и достаточно, чтобы ряд, составленный из i, был знакопеременным (, ).

Рассмотрим задачу о движении вращающегося с постоянной угловой скоростью ротора при учете внутреннего трения (модель плоско-параллельных перемещений). Соответствующее уравнение имеет следующий вид:


где z = x + jy – комплексная координата геометрического центра ротора при его плоско-параллельных перемещениях, p – угловая частота вращения ротора, h – коэффициент внешнего вязкого трения, θ – коэффициент, отвечающий за внутреннее трение. Все безразмерные параметры в этой задаче положительны. Покажем, что состояние равновесия, несмотря на то, что есть трение, может быть неустойчивым. Составим характеристическое уравнение:


Заменим λ на jτ и получим:


Здесь Матрица M в этом случае такова:


Составим ряд Эрмита–Гурвица:


Последнее неравенство выполняется при p < (1 + h/). Следовательно, при частоте вращения, большей критической величины (1 + + h/), нулевое состояние равновесия при учете внутреннего трения неустойчиво.


^ 3. Метод D-разбиений


Метод D-разбиений позволяет в пространстве параметров системы строить области с различной степенью неустойчивости D(к), где  – число корней характеристического уравнения, имеющих положительные действительные части (степень неустойчивости). D(0) – область устойчивости, если она существует [3, 6, 7].


D-разбиение по одному комплексному параметру. Пусть задано характеристическое уравнение в форме  = M(). Положим  = j и отделим действительную и мнимую части, считая  комплексным параметром ( = x + jy). Получим уравнения x = ReM(j), y = ImM(j), которые определяют границу D-разбиения при . Если штриховать левую сторону D-кривой при увеличении параметра ω, то при переходе ее с незаштрихованной стороны на заштрихованную степень неустойчивости уменьшается на единицу. Степень неустойчивости в точке x = 0 можно найти по формуле  = r + p + l/2, где r – число оборотов D-кривой вокруг точки0 (r > 0, если кривая обходит точку 0 комплексной плоскости по часовой стрелке), p – число полюсов функции M() в правой полуплоскости, l – число полюсов на мнимой оси. При этом каждый полюс считается столько раз, какова его кратность. По этим правилам находится претендент на область устойчивости (область D() с наименьшим индексом ). Чтобы выяснить вопрос, действительно ли претендент является областью D(0), надо узнать расположение корней характеристического уравнения хотя бы в одной точке плоскости , а индексы остальных областей определяются по правилу штриховки. Если параметр  является действительным, то области D(к) находятся как отрезки прямых на действительной оси .

Пример. Построить ^ D-разбиение плоскости комплексного параметра a для уравнения a3 + 2 + b + a = 0, b > 0.

Решение. Положим , и подставим эти соотношения в уравнение. Отделяя затем действительную и мнимую части и разрешая полученные соотношения относительно ax и ay, получим следующие зависимости:
0.5

1,0

0,5

2

4

ay

D(1)

D(2)

И
Рис.2


0

-0.5

1,0

1,5

1

3

D(0)

D(1)

–0,5

–1,0

0

0,5
зменяя параметр
ω от , постро­­им D-кривую на плоскости a, штрихуя ее ле­вую сторону при уве­личении ω. На рис. 2 изображена D-кри­вая при b= 2. У
Рис.2

-1.0
часток 1
D-кри­вой на рисунке соответствует изменению ω от ,

Рис. 2

участок 2 – от до 0, участок 3 – от 0 до и участок 4 – от до . Значение производной day/dax в точке , соответствующей , определяется из выражения:


.


Считая, что параметр а принимает действительные значения и применяя к исследуемому характеристическому уравнению критерий Рауса–Гурвица, нетрудно получить условие устойчивости в виде: , то есть точки оси ax, удовлетворяющие последнему неравенству, принадлежат области устойчивости, и, следовательно, область D(0), включающая эти точки, является областью устойчивости на плоскости комплексного параметра а (см. рис. 2). Далее по правилу штриховки определяются области D(1) и D(2).


D-разбиение по двум действительным параметрам. Пусть действительные параметры α и β входят в характеристическое уравнение линейно, то есть оно представимо в виде:


где M(), N(), P() – многочлены.

Положив  = j, M(j = M1( + jM2(, N(j N1( +jN2(, P(jP1(jP2( и отделив действительную и мнимую части, получим систему уравнений


(8)


Здесь M1, N1, P1 – четные функции ω; M2, N2, P2 – нечетные функции ω. Разрешая систему относительно α и β, находим:

где


Эти уравнения определяют регулярную границу D-разбиения N плоскости (α, β) в параметрической форме. Так как  – нечетные функции ω, то α и β будут четными функциями ω, и регулярная граница D-разбиения будет штриховаться дважды: первый раз при изменении ω от –∞ до 0 и второй раз от 0 до +∞ (слева при ∆ > 0 и справа при ∆ < 0). При пересечении D-кривой со штрихованной стороны на незаштрихованную степень неустойчивости возрастает на два, то есть дополнительно появляются два корня характеристического уравнения с положительной действительной частью.

Если при некоторой частоте ω = ω* ранг матрицы системы (8) меньше двух, то уравнения (8) линейно зависимы. В этом случае граница D-разбиения содержит еще особые прямые, соответствующие тем значениям ω, при которых  =  =  = 0. Показано, что особая прямая N0 существует при ω = 0 (an = 0), и особая прямая N – при ω = (a0 = 0). Их следует штриховать так, чтобы заштрихованные (незаштрихованные) стороны D-кривой и особой прямой были обращены друг к другу (рис. 3).

б)

а)

в)


Рис. 3


Особые прямые при других значениях ω = ω* штрихуют только в случае, если ∆(ω) при переходе через ω = ω* меняет знак, причем штриховка происходит по тем же правилам, как при ω = 0 и ω= = ∞, но только двойная. Если ∆(ω) не меняет знака при переходе через ω = ω*, то особая прямая игнорируется. После нанесения штриховки области D() находятся так же, как и при D-разбиении по комплексному параметру.

Пример. Провести ^ D-разбиение плоскости двух действительных параметров для характеристического уравнения


Решение. Положим  = j. Подставим в уравнение и получим:


Особые прямые N0 и N задаются соответственно уравнениями  = 1,  = 0.

Исключая ω, нетрудно получить уравнения регулярной границы D-разбиения в явном виде:  = 2(1/ + 1)2 на интервалах  ≤ 2 и  > 0, в которых выполняется условие 2 ≥ 0.

На рис. 4 изображены границы D-разбиения рассматриваемого примера. Штриховой линией на рисунке показана асимптота, к которой стремятся границы при .

–4 –3 –2 –1 0 1 2 3 

2

4

6

8

–2

–4

D(0)

D(1)

D(1)

D(2)



D(0)

N0

Рис. 4


Для точки μ = 1, ν = 0, принадлежащей области D(0) (рис. 4), характеристическое уравнение имеет вид ( + 1)3 = 0, из которого следует, что данная точка принадлежит области устойчивости. Следовательно, D(0) является областью устойчивости. По правилам штриховки однозначно определяются области D(1) и D(2).


^ 4. Робастная устойчивость


Устойчивость стационарных режимов или состоя­ний равновесия почти всегда является необходимым условием безопасной работы динамических систем. В сложном реальном объекте трудно обеспечить задание параметров равными их проектным значениям. Кроме того, в процессе эксплуатации многие параметры меняют свои значения как по естественным причинам, так и при ремонте и модернизации объекта. Поэтому система должна иметь некоторый запас устойчивости, то есть условие устойчивости должно выполняться не только для одной точки в пространстве параметров, но и для некоторой ее окрестности, которая называется областью робастной устойчивости [4]. Другими словами, область робастной устойчивости задает диапазон возможных изменений параметров системы, в котором сохраняется устойчивость и, следовательно, работоспособность объекта.

Пусть имеется исходный (невозмущенный) устойчивый характеристический полином


и возмущенный полином


для которого устанавливается норма – расстояние до исходного полинома в пространстве параметров. Максимальное значение * = max, при котором возмущенный полином, как и исходный, устойчив, является мерой робастной устой­чивости. При этом область параметров, в которой выполняется условие  < *, целиком лежит в области устойчивости.

Пример.

Н

а рис. 5 приведены границы области устойчивости ^ D(0) для этого уравнения, полученные методом D-разбиений. Для точки 1 областью робастной устойчивости является круг радиуса 1, для точки 2 – круг радиуса 2. Оба круга целиком лежат в области устойчивости.


1

2


1

D(0)

0

D(0)

0

2



Рис. 5

^ Задачи для самостоятельной работы

1. Корни характеристических уравнений таковы:


а)


б)


в)


Какие заключения можно сделать об устойчивости по первому приближению соответствующих состояний равновесия?

С помощью теорем Ляпунова об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость нулевое состояние равновесия.


2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Найти значения параметров a и b, при которых асимптотически устойчиво нулевое решение следующих систем.


10.

11.

12.

13.

14.


15.


Для данных систем найти все состояния равновесия и исследовать их устойчивость.


16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.


Линеаризовав систему дифференциальных уравнений, решить вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия.


36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

По характеристическому уравнению D() = 0 определить устойчивость состояния равновесия.


46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.

61.

62.

63.

64.

65.

66.

67.

68.


В следующих задачах исследовать устойчивость нулевого состояния равновесия, пользуясь условиями Рауса–Гурвица или Льенара–Шипара.


69.

70.

71.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.


Исследовать, при каких значениях параметров a и b нулевое решение асимптотически устойчиво.


79.

80.

81.

82.

83.

84.

85.

86.

87.

88.

Найти условия устойчивости состояния равновесия динамических систем, заданных характеристическими уравнениями. В плоскости параметров выделить области, соответствующие устойчивому состоянию равновесия.


89.

90.

91.

92.

93.

94. Дано уравнение Выделите область устойчивости состояния равновесия в плоскости параметров A и B.

95. Исследуйте устойчивость состояния равновесия системы , где J, K, Ω – положительные постоянные, – аналитическая функция.

96. Дано уравнение h = const, (x) – аналитическая функция, подчиняющаяся условию (0) = 0. На основе характеристического уравнения решите вопрос об устойчивости нулевого состояния равновесия в зависимости от знаков h и ′(0).

97. Исследуйте устойчивость нулевого решения системы

где Ψ(x) – аналитическая функция; a, b, c – постоянные числа.

98. Дана система в которой φ и ψ – аналитические функции, φ(0) = ψ(0) = 0, φ(u) + ψ(u) ≠ 0 при u ≠ 0. Найти состояния равновесия и исследовать их устойчивость по теории первого приближения.

99. Исследуйте устойчивость состояний равновесия x = 0 и x = π динамической системы, соответствующей уравнению

100. Исследуйте устойчивость нулевого решения систем

где a и b одного знака.


Методом D-разбиений найти и построить области устойчивости в пространстве параметров для следующих характеристических уравнений, если эти области существуют.

101.

102.

103.

104.

105.

106.

107.

108.


Ответы и указания

1. а) неустойчиво; б) линейное приближение не решает вопроса об устойчивости; в) неустойчиво.

2. Неустойчиво. Линеаризованная система:

3, 4. Неустойчиво. 5-8. Устойчиво. 9. Неустойчиво.

10. 2 < a < 1. 11. a < 1. 12. ab < 3. 13. a < b < 1.

14. b > 1/8 при a < 0 и a/2 < b <1/8 при a > 0.

15.be < a < e.

16. (4;4) – устойчиво; (6;2) – неустойчиво.

17. (0; 0)  неустойчиво; (1; 2) – устойчиво.

18. (9/5; 16/5) – неустойчиво; (9/5; 16/5) – устойчиво.

19. – устойчиво; – неустойчиво.

20. – устойчиво; , (3/2; 2), (–1; –3) – неустойчивы.


21. (1; 2), (2; 1) – неустойчивы. 22. (2; –1), (–1; 2) – неустойчивы.

23. (3; 0) – неустойчиво; (–1/3; –5/3) – устойчиво.

24. (0; 0) – неустойчиво; (π; 0) – устойчиво.

25. (1; 2), (2; 1) – неустойчивы.

26. – неустойчиво;

– устойчиво.

27. (2; 1) – устойчиво; (–2; 1) – неустойчиво. 28. (1; 1), (–4; –4) – неустойчивы.

29. (1; 1) – неустойчиво. 30. (2πn; 0) – неустойчивы; (π(2n+1); 0) – устойчивы, n – целое.

31. (–1; 2πn) – устойчивы; (–1; π(2n+1)) – неустойчивы, n –целое.

32. (2; 3), (9; –4), (–3; 2) – неустойчивы; (–6; –1) – устойчиво.

33. (4; 1), (1; 4) – неустойчивы.

34. (4; 2) – устойчиво. 35. (2; 3) – устойчиво; (3; 2) – неустойчиво.

36, 38, 39, 42, 43. Неустойчиво. 37, 40, 41, 44, 45. Устойчиво.

46–48, 52–54, 56, 57, 59, 60, 62, 63, 66, 67. Неустойчиво.

49–51, 55, 58, 61, 64, 65, 68. Устойчиво (58. Не асимптотически, 4 мнимых корня и один отрицательный).

69, 71, 73, 74, 76, 77, 78. Неустойчиво. 70, 72, 75. Устойчиво.

79. a > 0, ab > 2. 80. 0 < b < 3a. 81. 0 < a < 2. 82. Неустойчиво при всех a.

83. a > 0, b > 0, a + b < 1. 84. 0 < b < a – 1.

85. 0 < b < 4(2a – 1)/a2.

86. b > 0, a > 2/b + b/2. 87. b > 0, 2 – < a/b < 2 + .

88. 0 < b < a (8 – a)/4. 89. a > 2, b < a и a < 0, b > a.

90. b + 1 > 0, a > (b/2 + 1)/(b + 1).

91. a > 0, b > 2a2.

92. a > 0, b > 0, ab(a + b) > a2+b2. Область устойчивости удобнее построить в плоскости параметров (1/a, 1/b).

93. a + 1 > 0, ab – 2 > 0, (a + 1)(b + 2)b > (a + 1)2 + (b + 2)2. Разрешение последнего неравенства приводит к условию:

(b + 2)(b –) < 2(a + 1) < (b + 2)(b + ).

94. A > 0, B > 4.

95. при состояние равновесия асимптотически устойчиво, при состояние равновесия неустойчиво.

98. (0, 0) – асимптотически устойчиво при ; (–1, –1) – асимптотически устойчиво при .

99. x = 0 неустойчиво при α < 1, устойчиво при α = 1, асимптотически устойчиво при α > 1. x = π неустойчиво.

100. Линеаризованные уравнения не дают ответа на вопрос об устойчивости. С помощью функции Ляпунова V = 1/2(bx2 + ay2) нетрудно получить, что нулевое решение первой системы устойчиво, а второй – неустойчиво.
^

Список литературы



1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. 2-е изд. – М: Физмат, 1959.

2. Горяченко В.Д. Элементы теории колебаний: Учебное пособие для ВУЗов. 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 2001.

3. Неймарк Ю.И. Устойчивость линеаризованных систем. – Л.: ЛКВВИА, 1949.

4. Неймарк Ю.И. Робастная устойчивость линейных систем // ДАН СССР. – 1991. – Т. 30. С. 578–580.

5. Горяченко В.Д., Королев В.И. Сборник задач по теории колебаний: Учеб. пособие. – ГГУ, Горький. 1982.

6. Сборник задач по теории колебаний / Под ред. Л.В. Постникова, В.И. Королева. – М.: Наука, 1978.

7. Неймарк Ю.И. Динамические системы и управляемые процессы. – М.: Наука, 1978.


Вадим Демьянович Горяченко

Александр Леонидович Пригоровский

Владимир Михайлович Сандалов


^ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТИ

ДВИЖЕНИЯ И КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ


Часть 2. Устойчивость в малом. Критерии устойчивости.

Метод D-разбиений
^

Учебно-методическое пособие




Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23


Подписано в печать . Формат 6084 1/16.

Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Таймс.

Усл.-печ. л. 1,8. Уч.-изд. л. 2,4.

Тираж экз. Заказ

Отпечатано в типографии Нижегородского госуниверситета

им. Н.И. Лобачевского

603600, Н. Новгород, ул. Б. Покровская, 37

Лицензия ПВ № 18-0099 от 14.05.01



Похожие:

Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших iconРабочая программа дисциплины
Рекомендовано методической комиссией философского факультета, протокол №8 от 31. 10. 2012 г
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших iconУчебно-методическое пособие для студентов, обучающихся по специальности «Информатика»
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности «информатика», а также может использоваться...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших iconСборник задач по курсу основы программирования часть 1 Учебно-методическое пособие для студентов
Бабенко Т. А., Бельченко В. Е., Козырева Г. Ф. Сборник задач по курсу "Основы программирования": Учебно-методическое пособие для...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших iconД. ф м. н., проф., Ткачев Д. Л
Курс "Уравнения математической физики" является обязательным для студентов механико-математического факультета университета. Соответствует...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших iconПрограмма определяет объем знаний по курсу математического анализа для студентов II курса механико-математического факультета
Целью курса является научное обоснование важнейших понятий математического анализа: числовых и функциональных рядов, рядов Фурье,...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших iconПрограмма определяет объем знаний по курсу математического анализа для студентов II курса механико-математического факультета
Целью курса является научное обоснование важнейших понятий математического анализа: числовых и функциональных рядов, рядов Фурье,...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших iconСборник задач по теории вероятностей : учебно-методическое пособие / Т. А. Андревкина, Е. А. Борисова, Н. А. Иванова, О. В. Назарова, А.
Учебно-методическое пособие предназначено студентам вузов для аудиторной и самостоятельной работы, а также для подготовки к контрольным...
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших iconУчебно-методическое пособие по дисциплине «делопроизводство в кадровой службе» Для студентов
Вражнова М. Н. Учебно-методическое пособие по дисциплине «Делопроизводство в кадровой службе». – М.: Мади (гту), 2009. – 35 с
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших iconМетодическое пособие для студентов непсихологических факультетов Уфа 2010 Цели и задачи практики по психологии
Данное методическое пособие состоит из трех разделов
Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией механико-математического факультета для студентов высших iconОбыкновенные дифференциальные уравнения 3-й и 4-й семестры
Курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения» является обязательным для студентов механико-математического факультета университета....
Разместите ссылку на наш сайт:
Занятия


База данных защищена авторским правом ©zanny.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
контакты