Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов icon

Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов




НазваниеТак, например, «Механика» состоит из четырех разделов
Дата05.05.2014
Размер274.38 Kb.
ТипЗанятия

Введение


Чтобы решить физическую задачу (как в прочем и любую другую) необходимо составить одно или несколько уравнений, связывающих между собой неизвестные (искомые) и известные величины. Такие уравнения могут быть записаны, прежде всего, из физических законов и определений физических величин. Таким образом, все физические задачи могут быть разбиты на типы исходя из того, какой из законов лежит в основе их решения.

Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов:

1. Кинематика поступательного движения.

2. Динамика поступательного движения.

3. Кинематика вращательного движения.

4. Динамика вращательного движения,

каждый из которых оперирует своей группой физических законов и отвечает на свой «вопрос».

1. Кинематика поступательного движения описывает движение тела в пространстве и во времени, при котором все точки тела движутся с одинаковыми значениями скорости и ускорения (При этом траектория движения тела не обязательно прямая линия. Так, в случае, движения тела, брошенного под углом к горизонту, траектория – парабола. Однако, прямая, проведенная через любые две точки этого тела, остается параллельна сама себе, поэтому его движение является поступательным и описывается законами кинематики поступательного движения.). Кинематика поступательного движения оперирует лишь теми законами и понятиями, которые позволяют ответить на вопрос: каковы будут или каковы были в определенный момент времени положение тела в пространстве (т.е. его координаты), значения и направления векторов его скорости и ускорения.

2. Динамика поступательного движения отвечает на вопросы: каковы причины возникновения, прекращения и изменения поступательного движения тела, а также почему движение таково? Т.е. законы «Динамики» позволяют определить, каким в данных условиях будет движение: равномерным, равноускоренным, равнозамедленным или с переменным ускорением; каково значение ускорения; до каких пор будет продолжаться движение и прекратится ли оно с обращением в ноль скорости этого движения. Очевидно, что возможна и обратная задача: по известным характеристикам движения определить, каковы были причины, вызвавшие или изменившие его.

3. Кинематика вращательного движения описывает движение тела при котором каждая его точка движется по окружности или дуге окружности центры которых лежат на одной прямой, не выясняя причин, которые привели к возникновению этого движения и почему это движение таково. Отметим, что в случае вращательного движения вектор полного ускорения изменяется по направлению. Кинематика вращательного движения оперирует теми законами и понятиями, которые позволяют определить, в какой точке окружности окажется или находилось тело, угол поворота тела, а также значения и направления векторов его угловой скорости и углового ускорения в некоторый момент времени.

4. Динамика вращательного движения отвечает на вопрос: каковы причины возникновения и прекращения вращения тела и почему его вращение таково? Т.е. законы динамики вращательного движения позволяют определить, каким в данных условиях будет вращение – равномерным, равноускоренным, равнозамедленным или с переменным угловым ускорением; каково значение углового ускорения; до каких пор будет продолжаться вращение и прекратиться ли оно с обращением в ноль угловой скорости. Также возможна и обратная задача: по известным характеристикам вращательного движения определить, каковы были причины, вызвавшие или изменившие его.
^

1. Кинематика поступательного движения


К задачам на кинематику поступательного движения относятся задачи, в которых вектор ускорения не меняет своего направления, а в качестве искомых и известных величин фигурируют: пройденный путь (S), вектор перемещения (), скорость (v или V), ускорение (a) и время (t).
^

1.Основные понятия и соотношения


Основными физическими законами кинематики поступательного движения являются уравнения равнопеременного движения (Равномерное движение является частным случаем равнопеременного движения.):

(1)

(2)

и определения векторов скорости и ускорения:

, (3)

. (4)

Здесь: – вектор начальной скорости, т.е. скорости движения в начальный момент времени (при t=0), - вектор ускорения. В случае равнопеременного движения (см. (1),(2)) не изменяется ни по величине, ни по направлению. При этом если вектора ускорения и скорости сонаправлены, то движение называется равноускоренным, если направлены в противоположные стороны, то равнозамедленным. Движение с ускорением равным нулю называется равномерным движением. Следует особо отметить, что так как время инвариантно относительно выбора начала отсчета, то начальный момент времени может быть выбран исходя из удобства решения задачи. Более того, при решении одной и той же задачи может быть выбрано два и более начальных момента времени. Также следует иметь в виду, что в случае прямолинейного равнопеременного или равномерного движения, т.е. движения вдоль прямой линии, модуль вектора перемещения совпадает с пройденным путем:


^

2. Порядок решения задач


  1. Определить, является ли рассматриваемое движение равномерным, равнопеременным (т.е. равноускоренным или равнозамедленным) или с переменным по величине ускорением.

  2. Сделать рисунок, на котором изобразить направления векторов ускорения, скорости и предположительный вид траектории.

  3. Выбрать систему координат, направив одну из ее осей параллельно вектору ускорения или вектору скорости движения тела.

  4. Выбрать начало отсчета времени. (Обычно его совмещают с моментом времени начала движения или смены направления вектора скорости.)

  5. Записать, в соответствии с выбором начала отсчета времени, уравнения (1),(2) или (3),(4) (в зависимости от условия задачи) в проекциях на оси выбранной системы координат. При этом вдоль той из осей, которая направлена по ускорению, движение будет носить ускоренный характер. Вдоль остальных координатных осей движение будет либо отсутствовать, либо являться равномерным (проекции вектора ускорения на эти оси равны нулю).

  6. Подставить в полученные (в соответствии с п. 5) уравнения моменты времени, для которых требуется определить значения скорости, ускорения, времени или пройденного пути.

  7. Решить полученные уравнения.

  8. Найти искомые величины по теореме Пифагора, если последние имеют проекции на несколько координатных осей.
^

3. Примеры решения задач


Пример 1.1. Тело движется прямолинейно так, что пройденный ею путь изменяется во времени по закону S=Bt+Ct2+Dt3, м, где t – время; B, C, D – константы численно равные: B=0.25 м/с, С=0,6 м/с2, D=0.01 м/с3. Определить, к какому моменту времени (t1), после начала движения ускорение тела достигнет значения 6 м/с2 и каково значение скорости (v1) в этот момент времени.

Дано:

B=0.25 м/с

C=0.6 м/с2

D=0.01 м/с3

a(t1)=a1= 6 м/с2

Найти:

t=? v(t1)=v1=?

Решение:

В случае прямолинейного движения скорость тела равна первой производной пути по времени (В случае прямолинейного движения достаточно выбрать одну координатную ось вдоль направления движения. При этом все вектора (перемещения, скорости и ускорения) будут иметь единственную (не равную нулю) проекцию именно на эту ось, а ее значение будет совпадать с модулем этих векторов, т.к. все эти вектора параллельны выбранной оси. В соответствии со сказанным, символы векторов при решении данной задачи опущены так же, как и символы проекций.) (3)

, (5)

а ускорение первой производной скорости по времени (или второй производной пути по времени) (4)

. (6)

Таким образом, подставляя неизвестный момент времени t1 в (5) и учитывая тот факт, что, согласно условию задачи, а(t1)=а1 - известно, получим уравнение относительно t1:

,

решая которое, найдем:

. (7)

Подставив найденное выражение для t1 в (5), определим скорость v1(=v(t1)) в этот момент времени.

. (8)

Подставив численные данные в (7) и в (8), получим численный ответ задачи:

,

.

Пример 1.2. Тело брошено под углом к горизонту =30 с начальной скоростью v0=20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти дальность его полета по горизонтали (S), время полета (t), наибольшую высоту подъема (H) и время подъема на эту высоту (t1).

Дано:

=30

V0=20м/с

a=g=9.81 м/с2

Найти:

S=?, t=?, H=?, t1=?

Решение:



Рис. 1

В данной задаче тело движется в поле силы тяжести Земли. Поэтому ускорение движение тела - ускорение свободного падения, которое обычно обозначается буквой g и численно равное 9.81м/с2 (см. Дано). Вектор ускорения свободного падения направлен вертикально вниз (см. рис.1) и, согласно условию задачи, образует с вектором начальной скорости () угол (90+), не равный ни 0, ни . Вследствие последнего, движение тела – криволинейное, однако поступательное, поскольку направление вектора ускорения не изменяется. Для описания этого движения выберем систему координат, ось Оу которой (см. рис.1) направим вертикально вверх (параллельно вектору ускорения). Так как ускорение движения тела не изменяется по направлению (т.е. ), движение - плоское и для его описания достаточно двух осей координат. Направив ось Ох перпендикулярно оси Оу, т.е. горизонтально, разложим движение тела на составляющие: на прямолинейное движение вдоль оси Ох и прямолинейное движение вдоль оси Оу.

Поскольку проекция ускорения на ось Ох, согласно выбору системы координат, равна нулю (, см. рис.1), постольку движение вдоль этой оси – равномерное (т.е. с неизменной скоростью). В свою очередь, движение вдоль оси Оу – движение с постоянным значением ускорения: . При этом пока тело движется вверх, проекции векторов скорости и ускорения на ось ^ Оу имеют разные знаки. Поэтому вплоть до момента времени достижения телом точки апогея, т.е. наивысшей точки траектории, его движениевдоль оси Оу носит равнозамедленный характер, а ускорение – отрицательно (Знак ускорения, выбирается в зависимости от того, совпадают ли скорость и ускорение по направлению, если совпадают, то ускорение считается положительным, в противном случае – отрицательным.): ay=-g. В точке апогея проекция скорости тела на ось Оу обращается в ноль, и тело начинает двигаться вниз. С этого момента времени и вплоть до его падения на землю, тело движется вдоль оси Оу - равноускоренно, т.к. проекции на ось Оу векторов его скорости и ускорение имеют одинаковые знаки, поэтому2 ay=+g. В соответствии с вышесказанным, полное время движения тела следует разбить на два промежутка: первый – с момента бросания до момента достижения точки апогея - протяженностью t1, и второй – с момента достижения точки апогея до момента падения на землю - протяженностью t2.

Как отмечалось выше, в течение промежутка времени t1 движение тела вдоль оси Оу носит равнозамедленный характер и проекция скорости на эту ось в наивысшей точке траектории (точке апогея) обращается в ноль (Vy(t1)=0). Тогда, выбирая за начало отсчета времени - момент броска, запишем уравнение движения (1) и (2) вдоль оси Оу для момента времени t1 (момента достижения точки апогея):

, (9)

, (10)

где V0y – проекция начальной скорости на ось Оу, значение которой можно найти из прямоугольного треугольника (см. рис.1)

. (11)

Уравнения (9), (10) с учетом равенства (11) образуют систему уравнений. Подставив (11) в (9), найдем t1.

, (12)

а после подстановки (12) и (11) в (10) получим выражение для вычисления наибольшей высоты подъема:

. (13)

Теперь для того, чтобы определить время полета, складывающееся из времени подъема и времени спуска,

t=t1+t2 , (14)

найдем промежуток времени t2 – время, за которое тело достигнет земли, начав свое движение из точки апогея. Для решения этой части задачи, выберем начало отсчета времени в момент достижения телом точки апогея. В этот момент времени проекция скорости на ось Оу равна нулю (т.е. начальная скорость равна нулю). В свою очередь, движение тела вдоль оси Оу после прохождения им точки апогея и до падения на землю (т.е. на промежутке времени t2) носит равноускоренный характер. Тогда записав уравнение (2) для момента времени его падения:

. (15)

и подставив (13) в (15)

, (16)

найдем t2

. (17)

Сравнив (17) и (12) можно видеть, что время подъема тела из точки бросания в точку апогея - t1 и время спуска тела из точки апогея в точку падения - t2 равны. Тогда, подставляя (12) и (17) в (16), получим

. (18)

Теперь, чтобы найти дальность полета (S) тела, рассмотрим его движение вдоль оси ^ Ох. Движение вдоль этой оси, как это отмечалось ранее, носит равномерный характер, т.к. проекция ускорения на эту ось равна нулю (ax=0), следовательно проекция скорости тела на ось Ох не изменяется:

. (19)

Записав уравнение движения (2) вдоль оси ^ Ох для момента времени t с учетом равенства (12) и того, что ax=0, найдем путь, пройденный телом от момента броска до момента падения , т.е. дальность полета (Здесь за начало отсчета времени вновь выбран момент бросания.)

. (20)

Учитывая тот факт, что

,

перепишем (20) к виду

. (21)

Таким образом, задача решена полностью, все неизвестные величины найдены. Запишем сводку конечных результатов (12), (13), (18), (21) и найдем численные значения искомых величин:








^

4. Задачи для самостоятельного решения


  1. Зависимость пройденного телом пути S от времени t дается уравнением: , где А,B=6 м/с, С=-0.5 м/с3 – постоянные величины. Определить момент времени (t0), в который вектор скорости изменит свое направление, а также значение ускорения (а0) в этот момент времени.

  2. Тело брошено со скоростью v0=10 м/с под углом =45 к горизонту. Полное время его полета t=2.2 с. Найти максимальную высоту подъема (H) этого тела. Сопротивлением воздуха пренебречь.

  3. Тело брошено горизонтально с башни высотой h=25 м. Начальная скорость тела - v0=15 м/с Найти время (t) полета тела и на каком расстоянии (S) от подножия башни оно упадет на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь.

  4. Камень, брошенный под углом 1=30 к горизонту, пролетел до точки падения некоторое расстояние l. Под каким еще углом 2 к горизонту можно бросить камень, чтобы при том же значении начальной скорости он упал на землю на том же расстоянии l от места его броска? Ответ подтвердите вычислениями.

  5. Свободно падающее тело в последнюю секунду движения прошло половину всего своего пути. С какой высоты H падало тело? Сопротивлением воздуха пренебречь.

  6. Две материальные точки движутся согласно уравнениям: x1=A1t+B1t2+C1t3 и x2=A2t+B2t2+C2t3, где A1=4 м/с; B1=8 м/с2; C1=-16 м/с3; A2=2м/с; B2=-4 м/с2; C2=1 м/с3. В какой момент времени t ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости v1 и v2 точек в этот момент.

  7. Точка движется по прямой согласно уравнению x=At+Bt3, где А=6м/с; В=-0,125 м/с3. Определить среднюю путевую скорость точки в интервале времени от t1=2 c до t2=6 с.

  8. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения имеет вид X=At+Bt3, где А=3 м/с; В=0,06 м/с3. Найти скорость v и ускорение a точки в моменты времени t1=0 и t2=3 с. Каковы средние значения скорости x> и ускорения x> за первые 3 с движения?

  9. Точка движется по прямой согласно уравнению x=At+Bt3, где А=6м/с; В=0,125 м/с3. Определить среднюю скорость <> точки в интервале времени от t1=2 с до t2=6 с.

  10. С какой высоты Н упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t=0.1с?

  11. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью V= 20 м/c, упало на землю на расстоянии s (от основания башни), вдвое большем высоты h башни. Найти высоту башни.

  12. Пуля выпущена с начальной скоростью v0=200м/с под углом =600 к горизонту. Определить максимальную высоту подъема H, дальность полета. Сопротивлением воздуха пренебречь.

  13. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через промежуток времени t=2с камень упал на землю на расстоянии s=40 м от основания вышки. Определите начальную v0 и конечную скорость камня.

  14. Тело брошено под некоторым углом  к горизонту. Найти этот угол, если горизонтальная дальность s полета тела в 4 раза больше максимальной высоты Н траектории.



^

Динамика поступательного движения


При поступательном движении тела все его точки имеют одинаковые значения скорости и ускорения. При этом за равные промежутки времени они совершают одинаковое перемещение. Поэтому тела, движущиеся поступательно, можно считать материальными точками. Кроме того, не совпадением точек приложения сил, обусловливающих поступательное движение тела, можно пренебречь. Поэтому на чертежах, сопровождающих решение задач этого раздела, силы, действующие на тело, будут изображаться приложенными к одной и той же его точке.

Задачи данного раздела делятся на три основные группы (типы): задачи на законы Ньютона, задачи на закон сохранения импульса и задачи на закон сохранения и превращения механической энергии.
^

Задачи на законы Ньютона


К задачам на законы Ньютона относятся задачи, в условиях которых в качестве известных и неизвестных (т.е. искомых) величин фигурируют, прежде всего, ускорение и силы (или параметры сил), а также масса тела. Например: требуется определить ускорение движения тела известной массы, если оно движется поступательно и испытывает действие заданных в условии задачи сил.
^

1. Основные понятия и соотношения


При решении задач на законы Ньютона (т.е. для составления системы уравнений) прежде всего используются три закона Ньютона:

I закон Ньютона: Тело движется равномерно и прямолинейно или покоится (т.е. ускорение тела равно нулю), если сумма сил, действующих на тело, равна нулю ( Этот закон является частным случаем II закона Ньютона.).

II закон Ньютона: Векторная сумма сил, действующих на тело, равна произведению массы этого тела на вектор ускорения его движения.

. (22)

III закон Ньютона: Силы, с которыми взаимодействующие тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению (или более кратко: сила действия равна и противоположна силе противодействия).

. (23)

Основным из вышеперечисленных законов для решения задач данного типа является II закон Ньютона, позволяющий связать ускорение тела с силами, действующими на это тело. Однако лишь одного этого закона может оказаться не достаточно для составления полной системы уравнений (т.е. системы уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных). В этом случае, в качестве дополнительных уравнений следует, прежде всего, использовать определения сил и III закон Ньютона. Ниже приведены определения наиболее часто встречающихся в задачах сил.

Примеры сил:

  • Сила реакции опоры (N) – сила с которой опора противодействует силе давления на нее. Сила реакции опоры приложена к телу давящему на опору, направлена перпендикулярно поверхности опоры и по III закону Ньютона равна

, (24)

где– модуль силы нормального давления тела на опору.

  • Сила трения (Fтр) – сила, препятствующая движению тел относительно друг друга при условии их соприкосновения. Сила трения направлена в противоположную сторону направления вектора скорости движения тела и численно равна произведению коэффициента трения () на модуль силы нормального давления тела на поверхность, по которой оно движется,

. (25,а)

С учетом равенства (24) можно переписать выражение (25,а) через силу реакции опоры

. (25,б)

Выражения (25,а) и (25,б) эквивалентны (в силу III закона Ньютона), однако при решении одних задач удобно использовать выражение (25,а), а других – (25,б).

  • Сила гравитационного притяжения (Fгр) двух тел направлена от одного тела к другому вдоль прямой, соединяющей центры масс этих тел, и численно равна

, (26)

где m1 и m2 – массы взаимодействующих тел, r1,2 – расстояние между телами, - гравитационная постоянная.

В случае гравитационного притяжения к Земле выражение (26) может быть записано в виде

. (26,а)

Здесь: M- масса Земли, R – радиус Земли, h – высота положения тела, отсчитываемая от поверхности Земли (как вверх – h>0, так и вниз - h<0).

Сила тяжести (Fтяж) ( Для обозначения силы тяжести обычно используется ее выражение - .) – сила гравитационного притяжения тела к Земле у поверхности Земли (h<<R). В этом случае высотой положения тела (над поверхностью Земли) можно пренебречь. Тогда (см. (26,а))

, (27)

где - ускорение свободного падения.

  • Сила упругости – сила, возникающая при упругой деформации тела, направленная в противоположную сторону деформации и численно равная ( Закон Гука)

, (28)

где k – коэффициент упругости (табличная величина), x – величина деформации.

  • Сила вязкого трения (или сила сопротивления) возникает при движении тела в жидкости или газе. Эта сила направлена в противоположную сторону движения тела и, согласно закону Стокса, численно равна

, (29)

где - коэффициент вязкого трения (табличная величина), v – скорость движения тела.
^

2. Порядок решения задач на законы Ньютона.


  1. Сделайте чертеж, на котором изобразите все силы, действующие на каждое из тел.

  2. Укажите направление векторов скорости и ускорения движения каждого тела.

  3. Запишите II закон Ньютона в векторном виде для каждого из тел.

  4. Выберите для каждого из тел свою систему координат так, чтобы одна из ее осей была бы направлена вдоль вектора ускорения движения этого тела.

  5. Спроецируйте II закон Ньютона, записанный для каждого конкретного тела, на оси системы координат, выбранной для него.

Если полученная, в результате описанных выше действий, система уравнений полна, – решите ее. В противном случае (т.е. если число уравнений меньше числа неизвестных), ее следует дополнить недостающими уравнениями используя определение сил, III закон Ньютона и кинематические соотношения (1-4) (последовательно определя каждую из неизвестных величин и пытаясь записать это определение в виде математического равенства).
^

3. Примеры решения задач.


Пример 1.3. С воздушного шара, движущегося вертикально вниз с постоянной скоростью v1=0,5 м/с, сбросили балласт, в результате чего воздушный шар стал подниматься вертикально вверх со скоростью v2=0,3 м/с. Определить массу сброшенного балласта (m), если коэффициент вязкого трения воздуха =10 Нс/м.



Рис. 2

Дано:

v1=0.5 м/c

v2=0.3 м/с

=10 Нс/м.

Найти:

m=?

Решение:

На рис.2 изображены воздушный шар и силы, действующие на него при спуске (рис.2,а) и подъеме (рис.2,б):

а) когда воздушный шар двигался вертикально вниз (рис.2,а), на него действовали: сила Архимеда (^ FАрх), направленная вертикально вверх, сила тяжести, равная произведению суммы масс воздушного шара (M) и балласта (m) на ускорение свободного падения, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха (F(1)сопр), направленная в противоположную сторону скорости движения шара (т.е. вертикально вверх).

б) когда с воздушного шара был сброшен балласт и он стал двигаться вертикально вверх (рис.2,б), на него действовали: сила Архимеда (FАрх), направленная вертикально вверх, сила тяжести, равная произведению массы только воздушного шара (M) на ускорение свободного падения, направленная вертикально вниз, и сила сопротивления воздуха (F(2)сопр) , направленная в противоположную сторону скорости движения шара, т.е. вертикально вниз.

Поскольку по условию задачи шар опускался и поднимался с постоянной скоростью, постольку его ускорение как при движении вверх, так и вниз равнялось нулю (а=0). Учитывая этот факт, запишем II закон Ньютона для случая, когда воздушный шар опускался:

(30)

и поднимался:

. (31)

При решении данной задачи можно ограничиться выбором лишь одной координатной оси, т.к. силы, действующие на воздушный шар, направлены вдоль одной и тойже прямой (как при его движении вниз, так и вверх). Направив ось Оу вертикально вверх (см. рис.2а и 2б), т.е. параллельно векторам скоростей , спроецируем уравнения (30) и (31) на эту ось.

, (32)

. (33)

Полученная система двух уравнений (32) и (33) содержит пять неизвестных величины: . Для того чтобы увеличить число уравнений до числа неизвестных, следует, определяя каждую из неизвестных величин, записать дополнительные уравнения:

  • сила Архимеда равна весу вытесненного шаром воздуха. Однако объем шара – неизвестен, и запись закона Архимеда добавит еще одну неизвестную величину (появится третье уравнение, но число неизвестных с пяти увеличится до шести.);

  • масса воздушного шара не может быть определена из условия задачи;

  • масса балласта просто является искомой величиной, и если ее можно было бы определить, записав какие-либо другие уравнения, то сформулированная выше задача просто не имела бы смысла;

  • сила сопротивления при движении тела в газе определяется согласно закону Стокса (30), тогда

(34)

и

. (35)

Последние два уравнения (34),(35) в совокупности с уравнениями (32),(33) образуют систему четырех уравнений с пятью неизвестными. Таким образом, система полученных уравнений неполна, а способа увеличения числа уравнений при неизменном числе неизвестных – нет. Для решения такой неполной системы уравнений воспользуемся методом исключения неизвестных. Для этого вычтем уравнение (32) из уравнения (33):

. (36)

Подставив в (36) соотношения (34),(35), получим:

. (37)

Решая (37) относительно m окончательно имеем

.

Откуда после подстановки численных данных, найдем ответ задачи

.

Пример 1.4. Автопоезд, состоящий из автомобиля (тягача) и двух последовательно соединенных с ним прицепов, массами m1=5 т (первого от автомобиля) и m2=8 т (второго) движется с постоянной скоростью по горизонтальной дороге. Найти силу тяги автомобиля (Fтяг) и силу натяжения сцепки (T) между прицепами, если коэффициент трения для обоих прицепов одинаков и равен = 0.01.



Рис. 3

Дано:

m1=5 т =5000 кг

m2=8 т =8000 кг

=0.01

v=const

Найти:

Fтяг=? T=?

Решение:

На рис.3 приведен чертеж к задаче, на котором указаны силы, действующие на каждый из прицепов: силы тяжести - , действующие вертикально вниз; силы реакции опоры - , действующие вертикально вниз; силы трения - , направленные против движения (все эти силы приложены к первому и второму прицепам соответственно); силы натяжения сцепки между прицепами, действующие со стороны сцепки на первый прицеп, – T1,2 и на второй прицеп – T2,1, направленные в противоположные стороны; и сила тяги - Fтяг, приложенная только к первому прицепу (Несмотря на то, что автомобиль тянет оба прицепа, сила тяги приложена лишь к первому прицепу, поскольку автомобиль взаимодействует лишь с этим прицепом (через цепное устройство)), и, направленная по направлению движения автопоезда. Согласно III закону Ньютона силы T1,2 и T2,1 равны по величине. Поэтому, в дальнейшем, их модули будем обозначать одной и той же буквой T (=).

Запишем II закон Ньютона для каждого из прицепов, учтя тот факт, что их скорость постоянна, а следовательно, ускорение равно нулю.

В случае первого прицепа –

, (38)

а в случае второго –

. (39)

Выберем систему координат. Поскольку все тела движутся вдоль одной и той же прямой, постольку ограничимся одной системой координат, направив ось Ох вдоль вектора скорости (см. рис.3 ), а ось Оу – вертикально вверх.

Спроецируем II закон Ньютона, записанный для каждого из прицепов (38,39), сначала на ось Ох (При этом учтем тот факт, что ):

в случае первого прицепа -

(40)

и второго –

. (41)

Затем на ось Оу:

в случае первого прицепа -

(42)

и второго –

. (43)

Полученная система четырех уравнений (40 – 43) содержит шесть неизвестных: Fтяг, Т, F(1)тр, F(2)тр, N1 и N2. Поэтому она должна быть дополнена еще двумя уравнениями. Запишем недостающие два уравнения из определения силы трения (25б):

, (44)

. (45)

Уравнения (40-45) образуют полную систему уравнений (число уравнений и число неизвестных – шесть). Решим эту систему методом подстановки:

  • найдем из (42) и (43) силы реакции опоры ( и ),

  • подставив найденные выражения для сил реакции опоры в (44),(45) соответственно определим силы трения ( и ).

В завершение, после подстановки выражений для сил трения в уравнения (40), (41), получим два уравнения с двумя неизвестными:

(46)

и

. (47)

Решая эти уравнения, найдем силы:

- натяжения сцепки



- и тяги (обратите внимание, что сила тяги хотя и приложена только к первому прицепу, но обеспечивает (за счет натяжения сцепки) движение обоих прицепов. Поэтому (и в силу постоянства скорости) она компенсирует действие сил трения, приложенных не только к первому, но и ко второму прицепам.)

.

Пример 1.5. К пружине, прикрепленной к потолку кабины лифта, поднимающегося вверх с ускорением а=2 м/с2, прикреплен груз массой m=10 кг. Определить удлинение пружины, если в неподвижном лифте этот же груз растягивал пружину на см. (Указание: массой пружины пренебречь, груз покоится относительно кабины лифта)



Рис. 4

Дано:

а=2 м/с2

см

Найти:



Решение:

Поскольку законы Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета, постольку для решения задачи выберем систему отсчета, связав ее с покоящимся (либо движущимся без ускорения) телом, например с лестничной площадкой. Будем рассматривать движение тел (пружины и груза) из этой системы отсчета.

На рис.4 изображены оба (заданные условием задачи) состояния пружины и груза, как они видятся наблюдателю из инерциальной системы отсчета. Рис.4,а соответствует случаю, когда пружина и груз покоятся (ускорение равно нулю), а рис.4,б отвечает случаю их движения вертикально вверх с не нулевым ускорением (Относительно кабины лифта ускорение и скорость груза и пружины равны нулю. Однако связанная с ускоренно движущейся кабиной лифта система отсчета не является инерциальной, а следовательно, относительно нее законы Ньютона не выполняются.) (направление ускорения показано стрелкой справо). В каждом из этих случаев на груз действуют две силы: сила тяжести - , имеющая одно и то же значение и направление (вертикально вниз), а также сила упругости, обозначенная и в случаях покоящегося и движущегося с ускорением лифта соответственно. На рис.4 также изображено относительное удлинение пружины.

Запишем II закон Ньютона для каждого из рассматриваемых состояний груза:

- покоящегося (рис.4,а)

(48)

- и движущегося (относительно инерциальной системы отсчета) с не нулевым ускорением (рис.4,б)

. (49)

Выбрав систему координат, состоящую из одной оси Оу (поскольку все силы и ускорение направлены вдоль одной прямой), направленной вертикально вверх, т.е. по ускорению, спроецируем уравнения (48) и (49) на эту ось. Тогда, имеем:

(50)

и

. (51)

Полученная система двух уравнений (50) и (51), содержит три неизвестные величины (т.е. неполна). В то же время искомая величина в явном виде в этих уравнениях не фигурирует. Для включения l в полученную систему уравнений, выразим силы упругости через деформацию пружины. В соответствии с законом Гука (см. (28))

. (52)

Подставляя соответствующие равенства (52) в уравнения (50) и (51) имеем (при этом число неизвестных не изменилось, и система уравнений остается неполна.):

, (53)

. (54)

Разделив уравнение (53) на уравнение (54), исключив тем самым неизвестные k и m, найдем:

.

Пример 1.6. На вершине наклонной плоскости с двумя скатами закреплен невесомый блок, который может вращаться без трения. Через блок перекинута невесомая нерастяжимая нить, к противоположным концам которой прикреплены два груза массами m1=2 кг и m2=3 кг. Грузы могут скользить по наклонной плоскости, причем коэффициент их трения о поверхность наклонной плоскости одинаков и равен =0.01. Определить ускорение (а) движения грузов и силу натяжения нити (Т), если груз массой m1 находится на скате, составляющем с горизонтом угол =30, а массой m2 – на скате с углом =45.



Рис. 5

Дано:

m1=2 кг

m2=3 кг

=0.01

=30

=45

Найти:

a=? T=?

Решение:

Прежде чем приступать к решению задачи, обсудим, что означают два условия:

а) нить нерастяжима.

Это значит, что расстояние между любыми двумя ее точками не изменяется ни при каких условиях. Другими словами (уже применительно к данной задаче) точки прикрепления грузов к нити, а следовательно, и сами грузы перемещаются на одно и то же расстояние за одно и то же время. Таким образом, скорости и ускорения движения грузов одинаковы по модулю, хотя и различны по направлению –

;

б) блок невесом.

Это условие обусловливает, как будет показано в примере 1.16, равенство модулей сил натяжения нити слева и справа от блока, - .

Поскольку в данной задаче ускорение неизвестно, постольку выберем его направление произвольно. Понятно, что вектор ускорения каждого из грузов должен быть параллелен поверхности ската, на котором этот груз находится. Будем также считать, что более тяжелый груз спускается, а более легкий поднимается по наклонной плоскости. (Направления ускорений на рис.5 указаны в соответствии со всем вышесказанным. Если выбор направления ускорений был сделан неправильно, тогда в конечном результате будет получено, что модуль ускорения - отрицателен. В этом случае придется вернуться к началу решения задачи, переопределить направление вектора ускорения и повторить решение.)

Согласно выбранному направлению движения грузов силы трения, действующие на первый () и второй груз (), направлены параллельно соответствующим скатам наклонной плоскости вниз и вверх соответственно. Кроме сил трения на грузы оказывают действие силы: натяжения нити ( и), направленные вдоль нити от соответствующего груза к блоку; тяжести ( и ), направленные вертикально вниз; реакции опоры (и ), направленные вверх перпендикулярно поверхности соответствующего ската наклонной плоскости и).

Запишем II закон Ньютона для каждого из грузов (Масса блока равна нулю, поэтому II закон Ньютона для него можно не записывать):

, (55)

. (56)

Так, как ускорения грузов направлены под углом друг к другу, сопоставим каждому из них свою систему координат, такую, что ее координатная ось Ох была бы направлена вдоль вектора ускорения груза, которому она соответствует (Выбор единой (для обоих грузов) системы координат приведет к тому, что хотя бы один из векторов ускорения будет иметь две ненулевых проекции (на ось Ох и ось Оу). В результате этого число неизвестных увеличится на единицу, а это в свою очередь потребует составления дополнительного уравнения, что поведет к усложнению решения задачи).

Спроецируем II закон Ньютона, записанный для первого (55) и второго (56) тела, на оси системы координат, отвечающей каждому из них. При этом вектора ускорения и сил натяжения нити будут иметь одну не равную нулю проекцию на ось Ох, совпадающую со значением их модулей (а1у=а=0). Вводя обозначения: и (т.к. нить нерастижима и блок невесом), получим:

, (57)

, (58)

, (59)

. (60)

Система четырех уравнений (57)-(60) содержит шесть неизвестных – a, T, N1, N2, и . Дополним ее, записав определения сил трения:

(61)

и

. (62)

Полученная таким образом система шести уравнений (57-62) содержит шесть неизвестных, т.е. полна. Подставив вытекающие из (58) и (60) выражения для сил реакции опоры в равенства (61) и (62), а результаты этих подстановок в (57) и (59) соответственно, уменьшим число уравнений и неизвестных до двух:

(63)

. (64)

Выполнив суммирование уравнений (63) и (64), а затем, разделив полученный результат на сумму масс грузов, найдем их ускорение



Подставив полученное выражение для ускорения в уравнение (63) (либо (64)), после преобразований найдем значение силы натяжения нити:


^

4. Задачи для самостоятельного решения.


  1. Стальная проволока выдерживает силу натяжения T=4400 Н. С каким наибольшим ускорением а можно поднимать груз массой m=400 кг, подвешенный на этой проволоке, чтобы она не разорвалась? (Ответ: а=1.25 м/с2).

  2. Под действием силы F=10 Н тело движется прямолинейно так, что зависимость пройденного пути от времени имеет вид: , где С=1 м/с2. Найти массу m тела. (Ответ: m=5 кг).

  3. Автомобиль массой m=3 т движется по наклонной плоскости вверх с постоянной скоростью. Найти силу тяги Fтяг автомобиля, если угол наклонной плоскости =30, а коэффициент трения =0.02.

  4. (Ответ: Fтяг= 15224 Н).



Рис. 6

  1. Невесомый блок укреплен на вершине наклонной плоскости (рис.6), образующей с горизонтом угол =30. Грузы 1 и 2 одинаковой массы m1=m2=m=1кг соединены невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Найти ускорение движения грузов а и силу натяжения нити Т, если коэффициент трения груза 2 о наклонную плоскость =0.01. Трением в блоке пренебречь.

  2. К нити подвешен груз. Если поднимать груз с ускорением , то сила натяжения нити будет вдвое меньше той силы натяжения , при которой нить разрывается. С каким ускорением надо поднимать груз, чтобы нить разорвалась?

  3. Вагон массой , двигаясь равнозамедленно, останавливается через время , пройдя путь . Найти начальную скорость вагона и силу торможения F.

  4. Вагон массой движется равнозамедленно, имея начальную скорость км/ч и ускорение . Какая сила торможения ^ F действует на вагон? Через какое время t вагон остановится? Какое расстояние s вагон пройдет до остановки?

  5. Какую силу F надо приложить к вагону, стоящему на рельсах, чтобы вагон стал двигаться равноускоренно и за время прошел путь ? Масса вагона . Во время движения на вагон действует сила трения , равная 0,05 действующей на него силы тяжести mg.

  6. На автомобиль массой т во время движения действует сила трения , равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Найти силу тяги F, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с постоянной скоростью в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.

  7. На автомобиль массой т во время движения действует сила трения , равная 0,1 действующей на него силы тяжести mg. Найти силу тяги F, развиваемую мотором автомобиля, если автомобиль движется с ускорением в гору с уклоном 1 м на каждые 25 м пути.

  8. Наклонная плоскость, образующая угол α = 300 с горизонтом, имеет длину l = 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло от вершины плоскости к её основанию за время t = 4 с. Определите коэффициент трения тела о плоскость. Какую скорость будет иметь тело у основания плоскости?

  9. Тело скользит по наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α= 450.Зависимость пройденного телом пути от времени задано уравнением l = ct2, где c = 1.73м/с2. Найдите коэффициент трения μ тела о плоскость. Чему будет равна скорость тела к моменту времени, когда оно пройдет расстояние l = 10м.

  10. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной скоростью v0=20 м/с,остановилась через t=40c. Найти коэффициент трения  шайбы о лед.



____________________________

  1. Физика: Механика и элементы специальной теории относительности: Учебное пособие: Рабочая тетрадь / А.Г. Волков, Е.С. Левин, О.В. Гребенкина, С.Б.Робинсон. Екатеринбург: ООО “Изд-во УМЦ УПИ”, 2004, 74 с.

  2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики. М.: Наука, 2010

  3. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Интеграл-пресс.1997.






Похожие:

Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов iconПрограмма дисциплины опд. Ф. 01 Психология
Задачами дисциплины определяется ее построение. Дисциплина «Психология» состоит из четырех разделов (курсов): «Общая психология»,...
Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов iconСеминар по специальной педагогике и психологии
Сайт состоит из нескольких разделов, как и любой другой сайт. Разделы составляют меню сайта, которое размещается на главной странице...
Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов iconПоложение об отделе главного механика
Отдел главного механика является самостоятельным структурным подразделением предприятия и подчиняется главному инженеру или его заместителю...
Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов iconСамообследование работы школы за 2010-2011 учебный год состоит из следующих разделов

Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов iconПрограмма предназначена для подготовки специалистов по специальности биохимическая физика. Курс читается в 8 семестре после усвоения студентами курсов " Методы математической физики", "Атомная физика " и "Квантовая механика"
Цель курса состоит в освоении основных моделей теории химических связей, а также в
Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов iconПрограмма состоит из следующих разделов: кулинария
В системе воспитания школьников важное место занимает трудовое, нравственное, эстетическое, экологическое воспитание подрастающего...
Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов iconЗадачи: «Физическая культура»
Я хочу картотеку пальчиковых игр для детей 3-4 лет. Перспективное планирование состоит из 3 разделов: название игры, цели, краткое...
Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов iconМузеи мира специальности 020600 (031401. 65) «Культурология» Очная форма обучения
Курс состоит из 4 разделов, что обусловлено историческим развитием музейного дела в мире
Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов iconРазвитие познавательных процессов у детей дошкольного возраста. Развитие памяти
Так, например, при простом рассматривании картинок или слушании последовательности слов ребенок запоминает меньше, чем при действии...
Так, например, «Механика» состоит из четырех разделов iconСтратегический план развития гу аппарата Акима Софиевского сельского округа на 2010-2014г Стратегический план состоит из следующих основных разделов

Разместите ссылку на наш сайт:
Занятия


База данных защищена авторским правом ©zanny.ru 2000-2014
При копировании материала обязательно указание активной ссылки открытой для индексации.
контакты